Operadores y borrachos

En el marco del proyecto especial conjunto con el Prime Bróker EXANTE, Insider.pro inicia una serie de artículos de divulgación científica, preparados por el candidato a doctor en física y matemáticas Victor Argonov. El nombre de la serie es «Matemáticas del infinito y la realidad de las finanzas» y trata sobre la teoría de la probabilidad y los métodos inesperados de aplicarla en asuntos financieros.

Durante cientos de años, los matemáticos han operado descaradamente con cantidades infinitas, multiplicando, dividiendo, comparando inmensos números entre sí, y así sucesivamente. Los números infinitos son una de las categorías más abstractas de las matemáticas, pero a veces afectan a la vida real. En particular a la vida financiera.

En teoría de la probabilidad es conocida la paradoja de que la fórmula promete victorias interminables al operador y a la empresa - un tiempo infinito de prosperidad. Resulta agradable reírse de esas situaciones, pensando que los matemáticos son una especie de «científicos locos». Pero no todo es tan simple. Hay casos en los que el infinito, si no se cuela directamente en la vida, al menos «se filtra» en parte. Describiremos algunas de estas paradojas en esta serie.

En teoría de la probabilidad, un caso importante es el problema de la caminata al azar de un punto. La formulación original de la misma es bastante abstracta: un punto se mueve de forma aleatoria en diferentes direcciones. Pero en la vida, este problema tiene muchas aplicaciones específicas, incluyendo el área financiera. Pero primero vamos a conocerlo no del lado económico, sino en un ejemplo de humor: sobre la caminata al azar de un borracho.

Imaginemos a un borracho que sale del bar y que va a alguna parte. Pero está tan desorientado en el espacio que da cada paso en una dirección aleatoria. No recuerda a qué lado se acaba de mover. Sin embargo, el bar estaba situado en un callejón sin salida. El movimiento solo es posible en dos direcciones: desde el bar y viceversa. El primer paso del borracho es siempre hacia adelante (desde el bar), y después un movimiento al azar, pero en un solo lugar: un paso adelante, un paso adelante, un paso atrás, un paso adelante, un paso adelante, un paso atrás, un paso adelante, un paso adelante, etc. En matemáticas, ese proceso es llamado recorrido aleatorio unidimensional.

Definimos otra condición: si durante su deambular, el borracho casualmente vuelve al bar, será detenido por los guardias, llevado al bar y le harán dormir en la silla más cercana.

Imaginemos que en el bar hay un montón de borrachos. De vez en cuando salen de él, pero en este momento solo pueden deambular al azar por la calle. Y nosotros los vemos, dibujamos la trayectoria de cada uno y anotamos el tiempo que tardan en volver al bar.

Hacemos tres preguntas:

La primera pregunta tiene una respuesta simple, conocida por los estudiantes: la raíz de N. Si un borracho hacer 100 pasos, es probable que esté a 10 pasos del bar. Si hace 10 mil pasos, entonces, a 100 metros.

La segunda pregunta es fácil de resolver con la lógica más simple. Según el problema, el primer paso sin duda lo hará hacia adelante. Luego, hay una probabilidad de 1/2 de que dará un paso atrás hacia el bar. Así, en dos pasos la mitad de los borrachos habrá vuelto al bar, por eso el tiempo de retorno promedio es de dos pasos.

Pero la tercera pregunta tiene una respuesta extraña, de la que por lo general no hablan en las universidades y que es particularmente sorprendente escuchar después de responder a las dos primeras preguntas. Muchas personas no distinguen entre la media y el tiempo medio (como, por ejemplo, la media y el salario promedio). Sin embargo, estos valores pueden variar en gran medida. Y en nuestro caso, como han demostrado los matemáticos, el tiempo medio de los borrachos para volver al bar es... infinito. Al menos eso es lo que se desprende de las fórmulas matemáticas.

Una vez más recordemos qué significa esto y cómo se calcula. Para encontrar la posición media de los borrachos después de N pasos, y el tiempo medio de su regreso al bar, es necesario llevar a cabo el experimento muchas veces, medir en cada caso estos valores y después encontrar la media aritmética.

Digamos que primero hemos seguido a cinco personas y hemos obtenido unos resultados simples. Dos personas regresaron después de 2 pasos (avance y retroceso), otra ha vuelto en 4 pasos (adelante-adelante-atrás-atrás) y dos dieron 8 pasos por un camino más enrevesado. El tiempo medio para volver fue de 3 pasos, lo que está cerca de la estimación teórica (2 pasos). El tiempo medio de retorno es igual a (2*2+1*4+2*8)/5=24/5=4,8 pasos. Parecería que el tiempo es muy pequeño, y no es nada parecido al «infinito».

Pero 5 casos son demasiado poco para obtener buenas estadísticas. La próxima vez decidimos seguir a 20 personas. Y obtuvimos la imagen mostrada a continuación.

La desviación media de los «viajeros» desde su posición inicial es consistente con la teoría. Por ejemplo, después de 20 pasos, la teoría predice una distancia de 4-5 pasos (raíz cuadrada de 20). En el gráfico, al momento de N = 20 queda la trayectoria de solo 7 personas (los otros, hace tiempo que duermen en el bar y fueron excluidos de la consideración). Dos de ellos acababan de regresar al bar (su desviación es de cero), uno se encuentra a dos pasos del bar, uno a cuatro, dos a seis y el último a 10 pasos. La desviación media del bar es (2*0 + 1*2 + 1*4 + 2*6 + 1*10)/7 = 28/7 = 4 pasos. Igual que en la teoría.

La media de tiempo para volver resultó dos veces mayor que la evaluación teórica - 4 pasos. Pero este error es tolerable debido al bajo número de experimentos.

La situación es mucho más difícil con el tiempo medio de retorno. Es (7*2 + 3*4 + 1*8 + 1*10 + 2*20 + 1*30 + 1*34 + 1*140 + 1*198 + 1*202 + 1*298)/20 = 986/20 = 49,3 pasos. Este resultado no tiene nada que ver con el anterior, y todo por culpa de cuatro «aventureros». ¿Por qué no estaban antes? ¿Coincidencia? Tal vez sea necesario hacer un seguimiento de más borrachos, y luego encontraremos el valor real del tiempo medio deambulado.

La esencia del problema radica en que cuanto más extensos sean los experimentos que llevemos a cabo, mayor será el tiempo medio de retorno obtenido. La mitad de los borrachos seguramente regresará después de 2-4 pasos. Pero entre la parte restante queda un grupo de «aventureros» que están dispuestos a alejarse mucho del bar.

Gráficos de la probabilidad de encontrar a un borracho en la calle después de N pasos y la probabilidad de su retorno al bar en exactamente N pasos (en escalas lineales y logarítmicas en ambos ejes). Ambos gráficos son funciones de potencia N, por lo que en la escala logarítmica doble aparecen como rectas

Los matemáticos han derivado una fórmula mediante la cual se puede calcular la probabilidad de retorno de un borracho al bar en el paso N, y la probabilidad de su ubicación en la calle después de N pasos. En términos generales, estas fórmulas son complicadas, por lo que solo presentamos sus gráficos. Un borracho puede volver al bar solo en un número de pasos par. En el segundo paso, la probabilidad de retorno al bar y la posibilidad de quedarse en la calle son igual a 1/2. La probabilidad de retorno al bar exactamente en el cuarto paso es ⅛, y la probabilidad de seguir en la calle es 1/2-⅛ = ⅜. Con un gran N, la probabilidad de retorno al bar es inversamente proporcional a N a la potencia 3/2, y la posibilidad de estar todavía en la calle es la raíz cuadrada de N.

Esto significa que algunos borrachos deambulan durante mucho tiempo. Por ejemplo, para N = 100, todavía quedará en la calle uno de cada diez de los participantes de la «carrera», con N = 1.000 - uno de cada treinta, para N = 10.000 - uno de cada cien. En matemáticas, a los regresos tan largos con estadísticas crecientes se les llama vuelos de Lévy. La característica paradójica del vuelo de Lévy es que con un aumento en el número de experimentos el tiempo medio crece.

Si tenemos 10 personas, el más «aventurero» se alejará unos 100 pasos, y la mayoría del resto 2-4 pasos. Su caminata puede fácilmente exceder la longitud total de la caminata del resto de los participantes juntos. La contribución del resto es de 20 a 40 pasos en total, y la del «aventurero» es de 100 pasos. El tiempo medio de retorno será de 12-14 pasos.

Si tenemos a 100 personas, el más «aventurero» dará 10 mil pasos, y la mayoría de los demás - como antes, 2-4 pasos. Esta vez, la contribución de la mayoría puede ser desestimada. El tiempo medio de retorno será de unos 100 pasos.

La longitud de la trayectoria del más «aventurero», como regla general, será proporcional al cuadrado del número de participantes y el tiempo medio de retorno, igual al número de participantes. Con el creciente número de participantes, el tiempo medio de retorno tenderá a infinito - aunque por sí mismas son trayectorias finitas. Esto es extraño, aunque matemáticamente riguroso, e incluso experimentalmente verificable (ajustado por una posible limitación del número de pruebas realizables).

Este resultado es de importancia fundamental no solo en la cuestión del movimiento de los borrachos, sino en un asunto más importante para nosotros - la cuestión de los movimientos de capitales.

El movimiento de los precios de los valores y las tasas de cambio de divisas, el enriquecimiento y el empobrecimiento de jugadores y empresas reales de producción de bienes - todo esto puede ser modelado por procesos estocásticos, que a menudo se reducen a problemas en términos de una caminata al azar de un punto en una línea recta. Y también intervienen los vuelos de Lévy. Esto se discutirá en las siguientes secciones.