El problema del jugador que no puede ser expulsado del casino

En el marco del proyecto especial conjunto con el Prime Bróker EXANTE, Insider.pro continúa la serie de artículos de divulgación científica «Matemáticas del infinito y la realidad de las finanzas», del candidato a doctor en físicas y matemáticas Victor Argonov, en teoría de la probabilidad y métodos inesperados de aplicarla en asuntos financieros.

El problema de los borrachos deambulando cerca del bar que ya comentamos en «Operadores y borrachos» es un problema divertido y fácil que sirve para ilustrar una abstracción matemática tan importante como es la caminata al azar de un punto en línea recta. Pero durante mucho tiempo el movimiento de los borrachos preocupaba menos a la gente que los movimientos de capitales. Este problema financiero ha sido históricamente uno de los primeros en la teoría de la probabilidad. Por ejemplo, incluso en la época de 1650, los famosos científicos Blaise Pascal y Christiaan Huygens comenzaron a investigar un problema llamado la ruina del jugador. Tiene muchas formulaciones diferentes, pero nos centraremos en una de ellas – que es particularmente paradójica.

Un jugador compra al casino M fichas, cada una de las cuales cuesta 1 dólar (el dinero pagado por las fichas es el pago para participar en el juego). Cada minuto el repartidor lanza una moneda. Cuando cae cruz, coge una de las fichas del jugador. Cuando cae cara, da al jugador una ficha adicional. El número de fichas del casino es ilimitado, por lo que el casino no puede arruinarse. Pero el jugador sí puede. El juego continúa, siempre y cuando el jugador no gaste todas las fichas. De ese modo no ganaría nada. Este juego es «unilateral». Pero mientras dure, el jugador tiene derecho a beber, comer, charlar con otros jugadores, y entretenerse libremente a cuenta del casino (no necesita estar presente al lado del repartidor, que lo hace todo con honestidad).

Hagámonos cuatro preguntas:

Este problema es casi igual al problema anterior sobre los borrachos. Un lanzamiento de la moneda es similar a un paso. Aumentar o disminuir el número de fichas es similar al movimiento de ida y vuelta. La ruina es similar a la vuelta al bar. Por lo tanto, la probabilidad de ruina del jugador disminuye al aumentar N por la misma ley de potencia que la probabilidad de retorno de los borrachos. Aquí también habrá un partido anormalmente prolongado (vuelos de Lévy), debido a cual el tiempo medio de la ruina del jugador tiende a infinito. La única diferencia es que el jugador no empieza con cero fichas, sino con M. Por lo tanto, la mediana del tiempo de juego ahora es diferente: más o menos proporcional a M².

¿Qué significa esto en la práctica?

En primer lugar, consideremos el caso más simple: M = 1. Al casino viene un mendigo con 1 dólar. Ahora el problema es lo más cercano posible al problema de los borrachos. La mediana de tiempo en hacer un solo movimiento (con una probabilidad de 1/2 de que en el primer movimiento el jugador obtendrá cruz). Sin embargo, el tiempo medio esperado del juego, según las fórmulas, es infinito. ¿Cómo amenaza esto al casino?

Si al casino no vienen uno o dos mendigos, sino 100, 1.000 o más, alrededor de la mitad de ellos, «se marchan» en la primera vuelta, pero entre los restantes hay ciertos «afortunados» que representan una amenaza considerable para el casino. Al igual que antes, entre los borrachos obtuvimos un cierto porcentaje de «aventureros» que se alejaron del bar durante mucho tiempo, ahora entre los jugadores hay un cierto porcentaje de «afortunados», cuyo juego podría prolongarse durante días, meses u años (largos vuelos de Lévy).

El número de «afortunados» será casi igual al número de «aventureros» en el problema de los borrachos. Basta con mirar los gráficos. Con el aumento de N, la proporción de jugadores que quedan en el casino es inversamente proporcional a la raíz cuadrada de N. Cada décimo jugador se queda en el juego hasta alrededor del paso número cien, uno de cada cien - hasta el paso diez mil, y uno de cada mil - ¡hasta el un millón!

¡Es decir, si al casino llegaran 1.000 mendigos con 1 dólar, algunos de ellos 1-2 personas «se quedarían» en el casino durante años! ¡Y si se trata de 10 mil mendigos, entre ellos podría encontrarse una persona que tendrá derecho a cientos de años de entretenimiento gratuito! Y esto a pesar del hecho de que para la mayoría de los otros participantes el juego seguirá durando aproximadamente un minuto.

Este problema ilustra lo cautelosos que deben ser los organizadores de los juegos de azar. No siempre las ganancias y pérdidas pueden estimarse «a ojo». Si el problema de los borrachos deambulando ha sido cómico, en el casino puede aplicarse estrictamente este juego por tales normas, y sin desviación del modelo matemático. Y aunque el juego parece trivial, donde todas las cartas están del lado del casino, este puede arruinarlo fácilmente.

Cuando M> 1 la situación del casino puede ser aún peor: Ahora los jugadores ni siquiera necesitan un gran número de partidas.

La mediana del tiempo de juego es M². Es decir, que depende del capital inicial del jugador, al igual que el tiempo de juego del mendigo más afortunado depende del número de mendigos (y su capital total). Y no es solo una coincidencia, hay una conexión profunda que discutiremos más adelante. Pero primero, echemos un vistazo a los pronósticos del juego con diferentes M.

Si vienen al casino dos amigos y cada uno pone 10 dólares, al menos uno de ellos probablemente «de un paseo» a cuenta del casino de más de una hora y media (mediana del tiempo de juego - 100 minutos). Y si ponen 100 dólares – entonces, existe una gran probabilidad de que ambos puedan entretenerse todo el día y la noche durante alrededor de un mes. 10 mil dólares serán suficientes para «mudarse» al casino durante cien de años.

No resulta difícil entender por qué los resultados de los mendigos «afortunados» son tan similares a los resultados de las personas que originalmente vinieron con dinero. Los «afortunados» son aquellos que en alguna etapa del juego, gracias a la suerte, tuvieron la suerte de «acumular» un capital, que en el futuro fue difícil de destruir. Mientras más alto suba la persona con suerte, más difícil será «bajarlo de nuevo al suelo». Desproporcionadamente más difícil.

Recordemos que en el problema de los borrachos la desviación media de la trayectoria desde la posición inicial es proporcional a la raíz cuadrada de su duración. Un borracho que dé 100 pasos es probable que esté en algún lugar a 10 pasos del bar. Y el que da 10 mil pasos – a 100 pasos. También es cierto que, si el borracho está a 10 pasos del bar, entonces, para volver al bar dará alrededor de 100 pasos (tal será la mediana del tiempo de retorno). Y si está a 100 pasos, entonces, 10 mil pasos para regresar. Del mismo modo, si durante el juego el mendigo tuvo la suerte de «capturar» 9 caras más que cruces (y obtener 10 fichas), entonces, su juego a partir de ahí no será diferente al juego del que compró 10 fichas para iniciar. Ambos juegos tendrán un tiempo medio de 100 minutos. Y el juego del que casualmente consiguió 100 fichas será de unos 10 mil minutos.

Esta conclusión de la teoría de juegos tiene consecuencias de largo alcance. Explica la desigualdad económica en la sociedad y dice lo importante que es el «margen de seguridad». Una vez que empresa o un individuo rico acumula un gran capital, a menudo puede conservarlo durante siglos, mientras que las pequeñas empresas de nueva creación aparecen y desaparecen con gran velocidad. Y estos argumentos están directamente relacionados con la dinámica del precio de las acciones.