La paradoja de la lotería de San Petersburgo

En el marco del proyecto especial conjunto con el Prime Bróker EXANTE, Insider.pro continúa la serie de artículos de divulgación científica «Matemáticas del infinito y la realidad de las finanzas», del candidato a doctor en física y matemáticas Victor Argonov, en teoría de la probabilidad y métodos inesperados de aplicarla en asuntos financieros. Esta vez vamos a hablar sobre un problema que no está directamente relacionado con el problema de la caminata al azar, pero que no es menos paradójico y «controvertido».

Un casino ofrece a un jugador jugar con las siguientes reglas. Primero, el jugador paga M dólares al casino (cargo por el juego). A continuación, el repartidor lanza una moneda. Si la moneda cae cara la primera vez, el jugador recibe 1 dólar. Si la segunda vez cae cara, el jugador recibe 2 dólares. Si caen tres caras consecutivas – entonces, 4 dólares, cuatro caras – 8 dólares. Y así sucesivamente de manera exponencial. En cuanto caiga una vez cruz, el juego termina. El casino coge los M dólares y el jugador se lleva lo que logró ganar.

Hagamos la siguiente pregunta.

Rentable significa que con una gran cantidad de partidas él gana más de lo que pagó. Es decir, una suma mayor a M.

El gráfico muestra cómo aumenta la ganancia en cada partida y cuáles son las posibilidades de ganar durante el juego una cantidad determinada (excluyendo M).

Los gráficos se muestran con una escala lineal a la izquierda. Uno puede ver la rapidez con la que aumenta la ganancia a medida que el juego avanza. Pero la probabilidad de alcanzar la partida N a su vez cae con la misma rapidez. En la primera partida, la ganancia total es igual a 1 dólar, y en este punto la probabilidad de mantenerse en el juego es de 1/2. En la segunda partida, la ganancia total es de 3 dólares, y la probabilidad de permanecer en el juego - 1/4. En la tercera partida, respectivamente, 7 y ⅛, en la cuarta - 15 y 1/16.

Para un N grande la probabilidad de permanecer en el juego es inversamente proporcional a la ganancia total. Por ejemplo, hay una probabilidad de 1/1.000 de que el jugador logre ganar por lo menos 999 dólares en un juego.

Los gráficos de la probabilidad de ganar con respecto a la cantidad ganada se muestran con escala logarítmica doble a la derecha. Al igual que en los problemas anteriores, aparecen como líneas rectas (funciones de potencia). Esto significa que de nuevo debemos esperar una mala pasada con el infinito.

Supongamos que el cargo por el juego (M) es solo 1 dólar. El jugador decide jugar 100 partidas. A juzgar por los gráficos, por lo menos en uno de ellos es probable que gane 100 dólares, lo que cubre las pérdidas. En cada décima partida (es decir, aproximadamente en 10 partidas) la ganancia bien podría ser de 10 dólares, que en conjunto proporcionarán una cantidad adicional de 100 dólares. Además, casi la mitad de las ganancias de las partidas restantes debe ser de por lo menos 1 dólar. El juego parece razonablemente rentable: casi con total seguridad el jugador cubrirá el coste inicial y obtenga un beneficio de unos buenos 100-300 dólares. Y si juega 1.000 partidas, entonces, el beneficio será de miles de dólares.

Pero cuando la administración del casino entiende que el jugador está ganando demasiado, eleva el coste de M de 1 a 10 dólares. ¿Vale la pena que el jugador continúe jugando después de esto?

Ahora el juego no es tan rentable. Por ejemplo, si juega 100 partidas, la pérdida sería de 1.000 dólares, y el premio más o menos garantizado de 100-300 dólares. Pero esto es una estimación aproximada. ¿Es posible estimar con mayor precisión las ganancias? ¿Cuál es su valor medio con un número ilimitado de partidas? Como muestran las fórmulas (a saber, - la dependencia potencial de la probabilidad de ganar con respecto a la cantidad ganada), una característica de esta lotería es que la ganancia media... es infinita. Por lo tanto, para cualquier valor de M el juego en promedio es beneficioso para el jugador.

Después de las secciones anteriores, esto no debería sorprenderle: ¿dónde están soluciones divergentes? De hecho, en el problema sobre la ruina del jugador, el juego también era rentable con cualquier coste de entrada. Pero la principal paradoja de la lotería de San Petersburgo no está en la presencia de infinitos, sino en las reacciones psicológicas de las personas a esto.

A primera vista, a partir del análisis de la ruina del jugador y de la LSPB, se deducen dos cosas.

Pero en la práctica, la situación con estos juegos es totalmente diferente. Un juego en el que el jugador se alimenta a costa del casino, mientras este trata de arruinarlo, es un juego sin sentido. Los casinos reales tienden a no llevar a cabo juegos desventajosos para ellos (excepto como promociones). Pero la LSPB es un juego que realmente existe. Y los jugadores individuales y casas de juego llevan a cabo estas loterías y no creen que sean juegos «unilaterales». Y el cargo por el juego también es importante: es raro que alguien se comprometa a jugar a un precio de 20 dólares. Pero ¿por qué?

En las secciones anteriores hemos mostrado lo cuidadosos y atentos que debemos ser con las soluciones que contienen números infinitos. Hemos observado que, en realidad, la situación puede ser aún peor. El mercado castiga regularmente a los que ignoran las predicciones matemáticas «paradójicas», y los operadores son conscientes de ello. Pero en el caso de la LSPB la situación es diferente. Ya casi nadie se preocupa de las predicciones matemáticas infinitas, y no hay ningún tipo de desastres financieros. Y esa es la esencia de la Paradoja de San Petersburgo (PSPB).

La PSPB tiene varias explicaciones, que se pueden dividir en dos grupos: técnicas y fundamentales. Las explicaciones técnicas hacen un llamamiento a las imperfecciones del mundo real en comparación con los modelos matemáticos, y las fundamentales levantan un serio debate filosófico sobre el fenómeno de la mente y del sentido de la vida de un ser racional.

Este grupo de explicaciones salta a la vista. Se pueden pensar muchas, pero todas ellas están relacionadas con las dificultades técnicas de aplicar la LSPB de forma plena.

En primer lugar, para tener una alta probabilidad de lograr una gran ganancia, es aconsejable no correr riesgos y realizar una gran cantidad de partidas. Y mientras mayor sea el coste de entrada, más serán las partidas necesarias. Si el cargo para una partida es de 1 dólar (y la ganancia es también a partir de 1 dólar), entonces 20 juegos son suficientes para conseguir una ventaja con casi un 100% de seguridad. Pero a un precio de 10 dólares (con el mismo beneficio inicial de 1 dólar) el número requerido de partidas puede ser tal que el casino no las permita realizar, o el jugador pierde tanto tiempo que no vale la pena el dinero que se puede ganar.

En segundo lugar, a menudo las reglas se aplican en su propio marco secreto. Si alguien gana accidentalmente un millón al casino, este podría negarse a cumplir con las condiciones del juego citando la falta de dinero. Y es probable que el casino se asegure de alguna manera contra accidentes desagradables.

En tercer lugar, las personas están psicológicamente dispuestas a pasar por alto las pequeñas probabilidades, y por eso son muy pocas las que tentarán la probabilidad de ganar hasta mil millones de dólares - incluso si la pérdida máxima posible (pero casi segura) será de al menos 500 dólares.

Pero todas estas explicaciones no pueden considerarse satisfactorias. Debido a que incluso si se puede visualizar una situación en la que se resuelven todos estos problemas, ni el hombre más inteligente y razonable quiere comportarse «racionalmente».

Para ilustrar las deficiencias de las explicaciones técnicas de la PSPB hay que dejar de lado las reglas iniciales de la lotería y reemplazarlas con unas más simples y rígidas.

Usted llega al casino y se le ofrece un juego muy simple. En cajas cerradas se encuentran 100 medallas: 99 rojas y una verde. Le ofrecen sacar una al azar. Si saca una roja - pierde todas sus posesiones. Si saca la verde - gana mil millones de dólares. Suponga que usted es una persona ordinaria de clase media, que tiene su propia vivienda, automóvil y electrodomésticos. Usted tiene un trabajo ordinario que le ha permitido obtener todo esto a lo largo de muchos años de trabajo. El valor total de su propiedad es de 100-200 mil dólares. Y, lo más probable, es que esa cantidad sea la pérdida. En cambio, el promedio de ganancia (la cantidad de mil millones multiplicada por su probabilidad de 0,01) es de 10 millones de dólares. Suponiendo que el casino está preparado para las pérdidas (por ejemplo, realiza el juego en motivo de un programa de televisión extremo), y está sinceramente dispuesto a pagar la cantidad, sin ningún tipo de «letra pequeña» en los contratos.

Desde un punto de vista puramente matemático, el juego es excepcional. Y desde un punto de vista psicológico, ambos resultados tienen una probabilidad bastante significativa. Una probabilidad de 1/100 no es una probabilidad tan pequeña como para ignorarla. La gente está dispuesta a comprar la lotería normal con mucha menos probabilidad de ganar. Pero en este caso, es evidente que la mayoría de la gente se negará a jugar. Excepto los marginados, con pocas posesiones (y que no tienen nada que perder), o los aventureros patológicos.

Este ejemplo muestra que no solo la turbia LSPB, sino también otros juegos mucho más transparente con dos resultados posibles y gran promedio de ganancias no garantizan un comportamiento «racional» por parte de las personas. No se necesita saber matemáticas, pero las reglas del juego todavía parecen inaceptables para la gente. ¿Por qué?

De lo dicho anteriormente se derivan dos posibles opciones. O bien la mayoría de las personas deben ser tomadas por tontas (que resuelven incorrectamente incluso problemas muy simples), o es necesario asumir que el comportamiento racional no es la maximización de las ganancias, y que el verdadero bienestar no es proporcional a la riqueza. Y justamente la segunda explicación es la correcta.

Numerosos estudios demuestran que no se puede decir que una persona con un ingreso de mil millones de dólares sea un millón de veces más feliz que una persona con un ingreso de mil dólares. Psicológicamente, un juego con un índice demasiado alto tiene una rentabilidad media negativa. Para la mayoría de la gente, un premio de mil millones de dólares y la pérdida de todos sus activos son comparables en su gravedad. Dado que la probabilidad de ganar es mucho menor que la de perder, tal juego está fuera de cuestión. Además, discutiremos sobre esto con más detalles en el siguiente artículo.